Mathematik-Online-Lexikon: 4-Punkt Schema

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	4-Punkt Schema

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Übersicht

Zur genauen grafischen Darstellung von Funktionen aus Werten an äquidistanten Stützstellen kann kubische Interpolation verwendet werden. Dabei werden Zwischenwerte an den Stützstellen $x_{k+1/2}=(k+1/2)h$ durch

$\displaystyle f_{k+1/2} = (-f_{k-1}+9f_k+9f_{k+1}-f_{k+2})/16$

approximiert. Dieser Prozess wird wiederholt, bis genügend Daten generiert wurden.

Die Gewichte

$\displaystyle -\frac{1}{16},\, \frac{9}{16},\, \frac{9}{16},\, -\frac{1}{16}$

der

-Punkt-Formel sind die Werte der Lagrange-Polynome an der Stützstelle $x_{k+1/2}$ . Beispielsweise ist

$\displaystyle -\frac{1}{16} = \left( \frac{x-kh}{(k-1)h-kh} \frac{x-(k+1)h}... ...+1)h} \frac{x-(k+2)h}{(k-1)h-(k+2)h} \right)_{\Big\vert x = (k+1/2)h} \,.$

Aufgrund der Symmetrie und da die Koeffizienten zu eins summieren (Interpolation konstanter Daten), ergeben sich die anderen Koeffizienten ohne Rechnung.

$\includegraphics[width=.45\textwidth]{KubischeInterpolation_Bild1}$	$\includegraphics[width=.45\textwidth]{KubischeInterpolation_Bild2}$
$\includegraphics[width=.45\textwidth]{KubischeInterpolation_Bild3}$	$\includegraphics[width=.45\textwidth]{KubischeInterpolation_Bild4}$

Die Abbildung zeigt die Ausgangsdaten und durch dreimalige Anwendung der -Punkt-Interpolation erzeugte Approximationen einer Sinusfunktion. Zwar wirkt die unten links gezeigte Grenzfunktion glatt. Jedoch ist nur die erste Ableitung stetig.

$\includegraphics[width=.4\textwidth]{fourpoint_lim}$ $\includegraphics[width=.4\textwidth]{fourpoint_diff}$

Die rechte Grafik zeigt die durch Dividierte Differenzen angenäherte zweite Ableitung nach achtmaliger Interpolation. Man erkennt den fraktalen Charakter des Graphen.

siehe auch:

Interpolationspolynom in Lagrange-Form

automatisch erstellt am 22. 6. 2016