Mathematik-Online-Lexikon: Beispiel: Maximumprinzip

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	Beispiel: Maximumprinzip

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Zur Illustration des Maximumprinzips wird die Funktion

$\displaystyle \cos(z)=\frac{1}{2}(e^{\mathrm{i}z}+e^{-\mathrm{i}z})$

auf dem Rechteck

$\displaystyle D:\,\, x=\operatorname{Re}\,z\in [-\pi,\pi],\,\, y=\operatorname{Im}\,z\in [-1,1]$

betrachtet. Man erhält

$\displaystyle \vert\cos(z)\vert^2$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \cos(z) \overline{\cos(z)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{4}(e^{\mathrm{i}x}e^{-y}+e^{-\mathrm{i}x}e^{y})(e^{-\mathrm{i}x}e^{-y}+e^{\mathrm{i}x}e^y)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{4}(e^{-2y}+2\cos(2x)+e^{2y}).$

Das Maximum wird also auf dem Rand, für $x\in \{-\pi,0,\pi \}$ , $y\in\{-1,1\}$ , angenommen.

automatisch erstellt am 21. 11. 2013