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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Integralformel für Ableitungen

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Für ein Polynom

$\displaystyle f(w)=\sum_{k=0}^{m}a_k(w-z)^k$

und den Kreis $ C$: $ t\mapsto z+re^{\mathrm{i}t}$ ist

$\displaystyle \int\limits_{C}\frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\,dw=\sum_{k=0}^{m}a_k\int\limits_C (w-z)^{k-n-1}\,dw\, .$

Mit Ausnahme von $ k=n$ besitzen alle Monome $ (w-z)^{k-n-1}$ eine Stammfunktion, so dass das Integral über den geschlossenen Weg verschwindet. Die Summe ist also für $ m<n$ null und hat für $ m \geq n$ den Wert

$\displaystyle a_n\int\limits_C\frac{dw}{w-z}=a_n\int\limits_0^{2\pi} \frac{\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}}{re^{\mathrm{i}t}}\,dt=2\pi \mathrm{i}\, a_n $

im Einklang mit der Integralformel für Ableitungen.

siehe auch:

  automatisch erstellt am 21. 11. 2013