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Mathematik-Online-Lexikon:

Volumen einer dreidimensionalen Kugel

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Berechne das Volumen einer dreidimensionalen Kugel mit Radius $ R$ mittels des Gaußschen Integralsatzes.

Lösung.

Wir parametrisieren den Rand $ \partial K$ der dreidimensionalen Kugel $ K$ mit Radius $ R$ um den Ursprung mittels

$\displaystyle \Phi:[0,\pi]\times[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}^3,\; \Phi(\psi,\varphi... ...in\psi)(\cos\varphi)\\ R(\sin\psi)(\sin\varphi)\\ R\cos\psi \end{pmatrix} \, , $

und bestimmen den Normalenvektor der Fläche $ \Phi$ zu

$\displaystyle \mathrm{n}_\Phi(\psi, \varphi) \;:=\; (\Phi_\psi \times \Phi_\varphi)(\psi,\varphi) \;=\; R (\sin \psi) \Phi(\psi,\varphi). $

Wir bemerken, daß der Normalenvektor stets nicht nach innen zeigt, und wenden den Gaußschen Integralsatz auf das Vektorfeld $ f(x,y,z)=(0,0,z)^{\mathrm{t}}$ , dessen Divergenz $ 1$ beträgt, an.

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{vol}(K) &=& \displaystyle \int_K... ...\pi\vspace{3mm}\\ &=& \dfrac{4}{3} \; \pi R^3 \, . \end{array}\end{displaymath}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006