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Mathematik-Online-Lexikon:

Poissonsche Summenformel

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Sei $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ absolut integrierbar. Zeige unter Verwendung der Poissonschen Summenformel, daß

$\displaystyle \sum_{n = -\infty}^{+\infty} f(x + n) \; =\; \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \exp(2\pi\mathrm{i} nx) \cdot \hat{f}(2\pi n) $

für $ x\in\mathbb{R}$ .

Lösung.

Sei $ x\in\mathbb{R}$ . Setze $ g(y) = f(x + t)$ für $ t\in\mathbb{R}$ . Die Poissonsche Summationsformel gibt

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} {\displaystyle\sum_{n = -\infty}^{+\infty... ...athrm{i} n x}\hat{f}(2\pi n) \; . \vspace*{2mm} \\ \end{array}\end{displaymath}

Die erhaltene Formel besagt, daß der Wert der Fouriertransformierten bei $ 2\pi n$ gerade der $ n$ -te Koeffizient der komplexen Fourierentwicklung der ''Periodifizierung'' $ {\displaystyle\sum_{n = -\infty}^{+\infty}} f(x + n)$ von $ f(x)$ ist.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006