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Mathematik-Online-Lexikon:

Stromfluss in einem Schwingkreis

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Bestimme die allgemeine Lösung von

$\displaystyle L\ddot I + R\dot I + C^{-1} I \;=\; U_0\omega\cos(\omega t)\,. $

Diese Gleichung beschreibt den Stromfluß $ I$ in einem mit der angelegten Wechselspannung $ U_0\cos(\omega t)$ angeregten Schwingkreis, welcher aus einer Spule von Induktivität $ L > 0$ , einem Widerstand von Widerstand $ R > 2\sqrt{L/C}$ und einem Kondensator von Kapazität $ C > 0$ bestehe.

Lösung.

Wir wollen den in der Wiederholung mit III bezeichneten Lösungsweg verwenden.

Wir setzen hierzu

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} z & := & \begin{pmatrix}I \\ \dot I\end{p... ...\omega}{L}\,e^{\mathrm{i}\omega t}\end{pmatrix} \\ \end{array}\end{displaymath}

und lösen $ \dot z = Az + b$ . Schreibe $ c := -\frac{1}{LC}$ , $ r := -\frac{R}{L}$ und $ u := \frac{U_0\omega}{L}$ . Am Ende müssen wir dann wieder von $ e^{\mathrm{i}\omega t}$ zu $ \cos(\omega t)$ übergehen.

Wir wollen $ \exp(tA)$ berechnen. Da die Matrix $ A = \begin{pmatrix}0&1\\ c&r\end{pmatrix}$ Parameter enthält, gehen wir näher auf diese Berechnung ein. Ihre Eigenwerte sind $ \lambda := \frac{r}{2} + \sqrt{\frac{r^2}{4} + c}$ und $ \mu := \frac{r}{2} - \sqrt{\frac{r^2}{4} + c}$ , und nach Voraussetzung an $ R$ verschieden und beide reell.

Die Jordanform ergibt sich zu

$\displaystyle A \;=\; \begin{pmatrix}0&1\\ c&r\end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatri... ...&0\\ 0&\mu\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\ \lambda&\mu\end{pmatrix}^{-1}\; . $

Somit ist

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \exp(At) & = & \begin{pmatrix}1&1\\ \lam... ...}-\lambda&1\\ -\lambda\mu&\mu\end{pmatrix} \; . \\ \end{array}\end{displaymath}

Für die Variation der Konstanten beachten wir zunächst, daß wir nach Ersetzen von $ t$ durch $ -t$

$\displaystyle \exp(-tA) \;=\; \frac{e^{-\lambda t}}{\mu - \lambda} \begin{pmatr... ...}}{\mu - \lambda} \begin{pmatrix}-\lambda&1\\ -\lambda\mu&\mu\end{pmatrix} \\ $

erhalten. Nun wird, für beliebig wählbare Konstanten $ \alpha,\,\beta\,\in\,\mathbb{C}$ ,

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} z & = & \exp(tA)\int\exp(-tA)b\,\mathrm{... ...\begin{pmatrix}1 \\ \mu\end{pmatrix}\right) \; .\\ \end{array}\end{displaymath}

Reskalieren der Konstanten $ \alpha$ und $ \beta$ zu Konstanten $ I_1,\, I_2\,\in\,\mathbb{C}$ und Betrachten des ersten Eintrags $ I$ von $ z = \begin{pmatrix}I \\ \dot I\end{pmatrix}$ liefert die allgemeine Lösung

$\displaystyle I \;=\; \frac{u e^{\mathrm{i}\omega t}}{(\mathrm{i}\omega - \lambda)(\mathrm{i}\omega - \mu)} + I_1 e^{\lambda t} + I_2 e^{\mu t} \; . $

Da wir anstelle von $ \cos(\omega t)$ von $ e^{\mathrm{i}\omega t}$ ausgegangen waren, müssen wir im ersten Summanden noch den Realteil bilden, was

$\displaystyle I \;=\; \frac{u}{(\omega^2 + \lambda^2)(\omega^2 + \mu^2)}\, ((\l... ...t) - \omega(\mu + \lambda)\sin(\omega t)) + I_1 e^{\lambda t} + I_2 e^{\mu t} $

liefert. Teilweises Rückeinsetzen der ursprünglichen Größen

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \lambda & = & -\frac{R}{2L} + \frac{1}{2}... ...}}\vspace*{2mm} \\ u & = & \frac{U_0\omega}{L} \\ \end{array}\end{displaymath}

bringt die allgemeine Lösung auf die Form

$\displaystyle I \;=\; \dfrac{U_0\omega}{L}\,\cdot\,\dfrac{(\frac{1}{LC} - \omeg... ...{L^2} - \frac{2}{LC}) + \frac{1}{L^2 C^2}} + I_1 e^{\lambda t} + I_2 e^{\mu t} $

für $ I_1,\, I_2\,\in\,\mathbb{C}$ beliebig gewählt. In der Praxis sind hier, da $ \lambda$ und $ \mu$ reell sind, auch die Stromstärken $ I_1$ und $ I_2$ reell.

Skizze für $ U_0 = 1$ , $ L = 10$ , $ \omega = 1$ , $ C = 5$ , $ R \in \{50,10,3\}$ (von oben nach unten), $ I_1 = 0{,}5$ und $ I_2 = -2$ .

\includegraphics[width = 8cm]{RCL.eps}

Interpretation. Nach Abklingen des homogenen Bestandteils $ I_1 e^{\lambda t} + I_2 e^{\mu t}$ verbleibt für große $ t$ eine Schwingung mit Frequenz $ \omega$ gleich der Erregerfrequenz. Die Phasenverschiebung im Vergleich zur Erregerspannung, sowie die Amplitude können der oben hergeleiteten Formel entnommen werden.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006