Mathematik-Online-Lexikon: Beispiel eines Riemann-Integrals

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Lexikon:
	Beispiel eines Riemann-Integrals

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Zur Berechnung von $\int_0^1 x^2\,dx$ mit Riemann-Summen wird die Folge von Partitionen

$\displaystyle \Delta_n: x_i= i/n,\quad i=0,\ldots,n \,,$

mit den Auswertungsstellen

$\displaystyle \xi_i=(2i-1)/(2n),\quad i=1,\ldots,n \,,$

gewählt.

Die Riemann-Summen sind dann

$\displaystyle \int f_{\Delta_n}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\left(\frac{2i-1}{2n}\right)^2 = \frac{1}{4n^3} \left(4\sum_{i=1}^n i^2-4 \sum_{i=1}^n i + \sum_{i=1}^n 1\right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{4n^3} \left( \frac{4n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{4n(n+1)}{2} +n \right) = \frac{1}{3} -\frac{1}{12n^2}$

mit dem Grenzwert

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \int f_{\Delta_n} = \frac{1}{3} \,.$

automatisch erstellt am 22. 9. 2016