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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiele

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Die bereits im ersten Abschnitt angegebenen affinen Koordinatensysteme

$\displaystyle \mathbb{E} =\left( \begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix} ; \begin{pma... ...; \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\right) $

führen auf die folgenden Koordinatentransformationen:

$ \vphantom{\kappa}_\mathbb{E}\kappa_\mathbb{O}\colon$ $ v$ $ \mapsto $ $ \frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\,v + \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}$    
$ \vphantom{\kappa}_\mathbb{O}\kappa_\mathbb{E}\colon $ $ v$ $ \mapsto $ $ \frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}^{-1}\,\left(v - ... ...atrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\,v + \begin{pmatrix}-3 \\ 1 \end{pmatrix}$    
$ \vphantom{\kappa}_\mathbb{E}\kappa_\mathbb{F}\colon $ $ v$ $ \mapsto $ $ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\,v + \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}$    
$ \vphantom{\kappa}_\mathbb{F}\kappa_\mathbb{E}\colon $ $ v$ $ \mapsto $ $ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\,\left(v - \begin{pmatrix}1... ...atrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\,v + \begin{pmatrix}1 \\ -2 \end{pmatrix}$    
$ \vphantom{\kappa}_\mathbb{F}\kappa_\mathbb{O}\colon $ $ v$ $ \mapsto $ $ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \frac1{\sqrt2} \begin{pmatr... ...1 \end{pmatrix}\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\,v$    
    $ = $ $ \frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\,v$    
$ \vphantom{\kappa}_\mathbb{O}\kappa_\mathbb{F}\colon $ $ v$ $ \mapsto $ $ \frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\,v$    

Die Koordinatentransformation $ \vphantom{\kappa}_\mathbb{F}\kappa_\mathbb{O}$ ist linear, weil $ \mathbb{F}$ und $ \mathbb{O}$ denselben Ursprung haben.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 15.  8. 2006