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Mathematik-Online-Lexikon:

Bestimmung des Anteils der Grundschwingung einer periodischen Funktion

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Wir wollen herauszufinden, wie stark die Grundschwingung und deren Oktav in der periodischen Funktion
$ f=\sin(x)+\sin(2x)=\sqrt\pi\frac{\sin(x)}{\sqrt\pi} + \sqrt\pi \frac{\sin(2t)}{\sqrt\pi}$
enthalten sind.

\includegraphics[width=.8\linewidth]{addsinus}
$ f$ ist in dieser Grafik rot, $ \sin(x)$ grün und $ \sin(2x)$ blau dargestellt.

Mit $ c_j(t)=\frac1{\sqrt\pi}\cos(jt)$, $ s_j(t)=\frac1{\sqrt\pi}\sin(jt)$ für $ j \in \mathbb{N}$, sowie $ c_0(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}$ berechnet sich die Grundschwingung ($ =s_1$) und deren Oktav($ =s_2$) wie folgt:

$\displaystyle \left<s_1,f\right>$ $\displaystyle = \int\limits_{-\pi}^\pi s_1(t)f(t)\,dt$    
  $\displaystyle =\int\limits_{-\pi}^\pi \frac1{\sqrt\pi} \sin(t)\left(\sin(t)+\sin(2t)\right)\,dt$    
  $\displaystyle = \frac1{\sqrt\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(t)^2+\sin(t)\sin(2t)\,dt$    
  $\displaystyle =\frac1{\sqrt\pi} (\pi+0) = \sqrt\pi,$    

sowie

$\displaystyle \left<s_2,f\right>$ $\displaystyle = \int\limits_{-\pi}^\pi s_2(t)f(t)\,dt$    
  $\displaystyle = \int\limits_{-\pi}^\pi \frac1{\sqrt\pi}\sin(2t)\left(\sin(t)+\sin(2t)\right)\,dt$    
  $\displaystyle = \frac1{\sqrt\pi}(0+\pi)=\sqrt\pi.$    

Es gilt also $ f(x)= \sqrt\pi s_1+\sqrt\pi s_2$ $ \left[\vphantom\int\right.$ da die $ c_j$ und $ s_j$ eine Orthonormalbasis bilden, gibt es keine weiteren Terme $ \left.\vphantom\int\right]$.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 29.  8. 2006