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Mathematik-Online-Lexikon:

Fouriertransformation einer Sägezahnfunktion

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Für $ j\in \mathbb{N}$ setzen wir die Funktionen $ c_j$ und $ s_j$ fest durch $ c_j(t)=\frac1{\sqrt\pi}\cos(jt)$ bzw. $ s_j(t)=\frac1{\sqrt\pi}\sin(jt)$.
Außerdem setzen wir $ c_0(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}$.

Es sei nun $ b: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ die $ 2\pi$-periodische Funktion, die für $ -\pi\leq x<\pi$ durch $ b(x)=\pi-\vert x\vert$ gegeben ist:

\includegraphics[width=.8\linewidth]{saegezahnfunktion}

Wir wollen nun $ b$ durch die $ s_k$ und $ c_k$ approximieren und berechnen deshalb:

\begin{align*} %dient dazu, die Umgebung als EIN Bild zu rendern. Sonst gibt's P... ...\text{falls } n \text{ ungerade,}\\ 0 & \text{sonst.} \end{cases}% \end{align*}

Die Linearkombinationen $ b_N = \sum\limits_{j=0}^N\left<c_j,b\right>c_j$ nähern für großes $ N$ immer besser an $ b$ an.
Schon $ b_3$ liefert mit

$\displaystyle b_3(x)=\frac{\pi^2}{\sqrt{2\pi}}\cdot \frac1{\sqrt{2\pi}}+\frac4{... ...cdot \frac{\cos(x)}{\sqrt\pi}+\frac4{9\sqrt\pi}\cdot \frac{\cos(3x)}{\sqrt\pi} $

eine ganz gute Näherung für $ b$:

\includegraphics[width=.8\linewidth]{dritteNaeherung}

Noch besser ist $ b_5$:

\includegraphics[width=.8\linewidth]{fuenfteNaeherung}

und $ b_{15}$ ist kaum mehr von $ b$ zu unterscheiden:

\includegraphics[width=.8\linewidth]{fuenfzehnteNaeherung}

[Verweise]
  automatisch erstellt am 30.  8. 2006