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Mathematik-Online-Lexikon:

Relationen auf der Menge der Zahlen 1 bis 12

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Relationen bzw. Äquivalenz-Relationen auf Mengen werden oft durch Eigenschaften der Elemente definiert. Als Beispiel werden zwei Relationen auf

$\displaystyle M = \lbrace 1,2,\dots,12 \rbrace $

betrachtet:

\includegraphics[width=0.45\moimagesize]{relationen1.eps}          \includegraphics[width=0.45\moimagesize]{relationen2.eps}

Die Abbildung zeigt den Graph der Relationen als Teilmenge von $ M \times M$. Die Relation $ R_1$ ist symmetrisch, aber weder reflexiv ( $ (1,1) \not\in R_1$) noch transitiv. Zum Beispiel haben $ x = 4$ und $ y = 6$ den gemeinsamen Teiler $ 2$ und $ y = 6$ und $ z = 9$ den gemeinsamen Teiler $ 3$, aber $ x = 4$ und $ z = 9$ haben keinen gemeinsamen Teiler. Also gilt

$\displaystyle (x R_1 y \land y R_1 z) \Rightarrow x R_1 z $

nicht.

Die Relation $ R_2$ ist eine Äquivalenz-Relation. Reflexivität, Symmetrie und Transitivität sind offensichtlich erfüllt. Die Äquivalenzklassen sind

$\displaystyle \lbrace 1 \rbrace, \lbrace 2,3,5,7,11 \rbrace, \lbrace 4,9 \rbrace, \lbrace 6,8,10 \rbrace, \lbrace 12 \rbrace $

mit einem, zwei, drei, vier und sechs Teilern.
(Autoren: Höllig/Kreitz)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 25.  9. 2012