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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Parametrische Darstellung einer Ebene

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Eine Ebene E sei gegeben durch den Punkt $ P=(1, 2, 3)$ und die Vektoren $ \vec{u} = (2,0,0)^t$ und $ \vec{v} = (1,1,1)^t$ , d.h.

$\displaystyle E: \vec{x} =\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+s\l... ...)+t\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\quad s,t \in \mathbb{R} $

Dann liegt $ X = (1,1,2)$ auf der Ebene, denn es gilt

$\displaystyle \overrightarrow{PX} = \begin{pmatrix}0\\ -1 \\ -1\\ \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vec{u} + (-1) \vec{v} $

Andererseits liegt $ X = (0,0,0)$ nicht auf der Ebene, denn es ist $ \overrightarrow{PX} = \begin{pmatrix}-1\\ -2 \\ -3\\ \end{pmatrix}$ und das Gleichungssystem

$\displaystyle s \begin{pmatrix}2\\ 0 \\ 0\\ \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\ -2 \\ -3\\ \end{pmatrix} $

hat keine Lösung, wie man an der zweiten und dritten Zeile sehen kann.

(Autoren: Höllig/Weiß )
[Verweise]
  automatisch erstellt am 28.  3. 2008