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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Abstand Punkt-Ebene

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Für die Ebene durch den Punkt $ P=(1,2,3)$ mit Normalenvektor $ \vec{n}=\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 2\\ \end{pmatrix}$ soll der Abstand $ d$ des Punktes $ Q=(3,2,3)$ sowie die Projektion $ X$ auf die Ebene bestimmt werden.


Zunächst ist

$\displaystyle \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad \overrightarrow{PQ} \cdot \vec{n} = 4,\quad \vert\vec{n}\vert = 3\, . $

Damit erhält man

$\displaystyle \overrightarrow{XQ} = \frac{4}{9} \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 2\\ \end{pmatrix},\quad d = \frac{4}{3} $

und errechnet schließlich

$\displaystyle \vec{x} = \vec{q} - \overrightarrow{XQ} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix}19\\ 14\\ 19\\ \end{pmatrix}\, . $

(Autoren: Höllig/Weiß )

siehe auch:

  automatisch erstellt am 28.  3. 2008