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Mathematik-Online-Lexikon:

Unabhängigkeit

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Sei $ \mbox{$\Omega=[0,1]$}$ mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß $ \mbox{$P$}$ gegeben, so daß $ \mbox{$P([a,b]) = b-a$}$ für $ \mbox{$0\leq a\leq b\leq 1$}$ gilt. (Ein entsprechendes $ \mbox{${\cal{E}}$}$ existiert.) Mit $ \mbox{$A_n = [2^{-(2n+1)},2^{-2n}]$}$ und $ \mbox{$B_n = [1-2^{-2n},1-2^{-(2n+1)}]$}$ seien Ereignisse $ \mbox{$A := \bigcup_{n=0}^{\infty} A_n$}$ und $ \mbox{$B := \bigcup_{n=0}^{\infty}B_n$}$ gegeben. Berechne $ \mbox{$P(A), P(B), P(A\cap B)$}$. Sind $ \mbox{$A$}$ und $ \mbox{$B$}$ unabhängig?

Die $ \mbox{$A_n$}$ sind paarweise disjunkt, d.h. es gilt

$ \mbox{$\displaystyle P(A) = \sum_{n=0}^\infty P(A_n) = \sum_{n=0}^\infty \lef... ...n}-2^{-(2n+1)}\right) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty 2^{-2n} = \frac{2}{3}. $}$

Aus Symmetriegründen folgt $ \mbox{$P(B) = P(A) = \frac{2}{3}$}$.

Es gilt $ \mbox{$A\cap B\cap [0,\frac{1}{2}] = A\cap [0,\frac{1}{2}]$}$ und $ \mbox{$A\cap B\cap [\frac{1}{2},1] = B\cap [\frac{1}{2},1]$}$. Aus der disjunkten Vereinigung

$ \mbox{$\displaystyle A\cap B = (A\cap [0,\frac{1}{2}]) \cup (B\cap [\frac{1}{2},1]). $}$
folgt
$ \mbox{$\displaystyle P(A\cap B) = P(\bigcup_{n=1}^\infty A_n) + P(\bigcup_{n=1}^\infty B_n) = \frac{1}{3} \neq P(A)P(B). $}$

Die Ereignisse $ \mbox{$A$}$ und $ \mbox{$B$}$ sind also abhängig.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006