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Mathematik-Online-Lexikon:

Unabhängigkeit

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Eine Punkt mit Koordinaten $ \mbox{$(x,y)$}$ werde zufällig (d.h. koordinatenweise unabhängig und gleichverteilt) aus dem Einheitsquadrat $ \mbox{$0\leq x,y\leq 1$}$ ausgewählt. Sei $ \mbox{$A$}$ das Ereignis, daß der $ \mbox{$x$}$-Wert des Punktes größer als der $ \mbox{$y$}$-Wert ist. Sei $ \mbox{$B$}$ das Ereignis, daß der $ \mbox{$y$}$-Wert maximal $ \mbox{$0.5$}$ ist.

Bestimme $ \mbox{$P(A\cup B)$}$, $ \mbox{$P(A\cap B)$}$ und $ \mbox{$P(A\vert B)$}$. Sind $ \mbox{$A$}$ und $ \mbox{$B$}$ abhängig?

Bei Gleichverteilung auf dem Einheitsquadrat ist das Wahrscheinlichkeitsmaß gerade die Fläche des zugehörenden Ereignisses. Mit Hilfe der Skizze

\includegraphics{l3.eps}
folgt $ \mbox{$P(A\cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$}$ und $ \mbox{$P(A\cap B) = \frac{3}{8}$}$.

Es ist $ \mbox{$P(A\vert B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{3/8}{1/2}=\frac{3}{4}>\frac{1}{2}=P(A)$}$. Anschaulich bedeutet dies, daß mehr von $ \mbox{$A$}$ innerhalb von $ \mbox{$B$}$ liegt als außerhalb.

Da $ \mbox{$P(A)P(B) = \frac{1}{4}$}$, sind $ \mbox{$A$}$ und $ \mbox{$B$}$ abhängig.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006