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Mathematik-Online-Lexikon:

Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion

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Es wird eine Funktionsuntersuchung der Funktion

$\displaystyle f(x) = \vert x^2-1\vert$e$\displaystyle ^{-4x/3} $

durchgeführt.

(i) Qualitatives Verhalten: Wie die Exponentialfunktion besitzt auch $ f$ keine Symmetrien und ist nicht periodisch.

Unstetigkeitsstellen der Ableitung (Knicke) treten für $ x=\pm 1$ aufgrund des Knicks der Betragsfunktion bei dem Argument 0 auf.

Da $ \lim_{x\to\infty}x^r\exp(-sx) = 0$ für alle $ r,s>0$ ist $ p(x) = 0$ Asymptote für $ x\to\infty$. Für $ x\to-\infty$ existiert keine Asymptote, da $ \lim_{x\to-\infty}\vert f(x)/x\vert=\infty$.

(ii) Nullstellen: Wegen der Positivität der Exponentialfunktion werden die Nullstellen durch den ersten Faktor bestimmt und liegen bei $ x_{1,2}=\pm 1$. Da $ f\ge0$ sind die Nullstellen ebenfalls globale Minima. Ein globales Maximum existiert nicht, denn $ \lim_{x\to-\infty}f(x) = \infty$.

(iii) Extrema: Da $ f(-1) = f(1) = \lim_{x\to\infty}f(x)= 0$ enthalten die Intervalle $ (-1,1)$ und $ (1,\infty)$ jeweils mindestens ein lokales Maximum.

Ableiten von

$\displaystyle f(x) = \sigma (x^2-1)$e$\displaystyle ^{-4x/3},\quad x\ne\pm1\,, $

mit $ \sigma = -1$ für $ x\in(-1,1)$ und $ \sigma = 1$ für $ x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ ergibt

$\displaystyle f^\prime(x) = \sigma \left[-4x^2/3+4/3+2x\right]$e$\displaystyle ^{-4x/3} \,. $

Durch Nullsetzen des quadratischen Polynoms in eckigen Klammern erhält man die kritischen Punkte $ x_3=-1/2$ und $ x_4=2$. An beiden Stellen hat $ f$ ein lokales Maximum wegen der Existenz von mindestens zwei solcher Extrema. Die entsprechenden Funktionswerte sind

$\displaystyle y_3 = \frac{3}{4}$e$\displaystyle ^{-2/3} \approx {\tt 1.4608}, \quad y_4 = 3$e$\displaystyle ^{-8/3} \approx {\tt0.2085} \,. $

(iv) Wendepunkte: Die Nullstellen von

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x) = \sigma\left[16x^2/9-16x/3+2/9\right]$e$\displaystyle ^{-4x/3} $

bzw. von $ [\ldots]$ sind

$\displaystyle x_5 = 3/2-\sqrt{34}/4 \approx {\tt0.0423},\quad x_6 = 3/2+\sqrt{34}/4 \approx {\tt 2.9577} \,. $

In beiden Fällen handelt es sich um Wendepunkte, da $ f^{\prime\prime}$ dort das Vorzeichen wechselt. Die Funktionswerte sind

$\displaystyle y_5 \approx {\tt0.9435},\quad y_6 \approx {\tt0.1501} \,. $

\includegraphics[width=10.4cm]{Kurvendiskussion_3}
[Verweise]
  automatisch erstellt am 15.  6. 2016