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Mathematik-Online-Lexikon:

Elektron in Spulenwindung

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Ein Elektron bewegt sich in einer Spulenwindung der Höhe $ h$, d.h. entlang des Weges

\begin{displaymath} C:\,\vec{r}(t)=\left( \begin{array}{c} \cos t \\ \sin t \\ ht/(2\pi)\\ \end{array}\right),\quad t\in[0,2\pi], \end{displaymath}

im elektrischen Feld

$\displaystyle \vec{F}(\vec{r})=\frac{1}{r^2}\vec{e}_r\,,\quad r=\vert\vec{r}\vert\,, $

das von einer Punktladung im Ursprung induziert wird. Die dabei verrichtete Arbeit ist

$\displaystyle \int\limits_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$ $\displaystyle = \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{(\cos^2 t +\sin^2 t +h^2t^2/(4\pi... ... \left( \begin{array}{c} -\sin t \\ \cos t \\ h/(2\pi)\\ \end{array}\right)\,dt$    
  $\displaystyle = \int\limits_0^{2\pi} \frac{h^2t/(4\pi^2)}{(1+h^2t^2/(4\pi^2))^{... ...frac{2\pi }{\sqrt{4\pi^2+h^2t^2}}\right]_0^{2\pi} = 1-\frac{1}{\sqrt{1+h^2}}\,.$    

Alternativ lässt sich die Arbeit über die Differenz der Werte des Potentials

$\displaystyle U(x,y,z) = -1/r $

an den Endpunkten der Kurve,

$\displaystyle \vec{r}(0) = \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\,,\quad \vec{r}(2\pi) = \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ h\end{array}\right)\,, $

berechnen. Dies ergibt ebenfalls

$\displaystyle U(1,0,h)-U(1,0,0) = -\frac{1}{\sqrt{1+h^2}}+1\,. $

[Verweise]
  automatisch erstellt am 9. 10. 2013