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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Fluss durch einen Zylindermantel

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Es soll der Fluss des Feldes

\begin{displaymath} \vec{F}(x,y,z)=\left( \begin{array}{c} xz^2\\ yz^2\\ z(x^2+y... ...\ \varrho z^2\sin\varphi \\ \varrho^2 z\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

von innen nach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Abstand $ a$ zur $ z$-Achse und $ z_{\rm min}=0$, $ z_{\rm max}=b$ berechnet werden.

Man erhält

\begin{displaymath} F_\varrho=\vec{F}\cdot \vec{e}_\varrho= \left( \begin{array}... ...s\varphi\\ \sin\varphi\\ 0\\ \end{array}\right) = \varrho z^2 \end{displaymath}

und somit für den Fluss

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_{z_{\min}}^{z_{\max}} F_\varrho(a... ...= \frac{1}{3}a^2b^3 \int\limits_0^{2\pi} \,d\varphi = \frac{2}{3}\pi a^2b^3\,. $

siehe auch:

  automatisch erstellt am 2. 10. 2013