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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Fluss durch eine Sphäre

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Es soll der Fluss des Vektorfeldes

\begin{displaymath} \vec{F}(x,y,z)=(x^2+y^2)^{\alpha/2}\left( \begin{array}{c} x... ...rtheta\\ r\sin\varphi\sin\vartheta\\ 0\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

von innen nach außen durch die Sphäre mit Radius $ a$ berechnet werden.

Man erhält

$\displaystyle F_r (r,\vartheta,\varphi)$ $\displaystyle =\vec{F} \cdot \vec{e}_r= (r\sin\vartheta)^\alpha\left( \begin{ar... ...hi\sin\vartheta\\ \sin\varphi\sin\vartheta\\ \cos\vartheta\\ \end{array}\right)$    
  $\displaystyle =(r\sin\vartheta)^\alpha r\sin^2\vartheta$    

und somit für den Fluss

$\displaystyle \int\limits_0^\pi\int\limits_0^{2\pi}$ $\displaystyle F_r(a,\vartheta,\varphi)\, a^2\sin\vartheta\,d\varphi\,d\vartheta... ...limits_0^\pi\int\limits_0^{2\pi} \sin^{\alpha+3}\vartheta\,d\varphi\,d\vartheta$    
  $\displaystyle = 4\pi a^{\alpha+3}\int\limits_0^{\pi/2}\sin^{\alpha+3}\vartheta\... ...heta = 2\pi^{3/2}a^{\alpha+3}\frac{\Gamma(2+\alpha/2)}{\Gamma(5/2+\alpha/2)}\,.$    

siehe auch:

  automatisch erstellt am 2. 10. 2013