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Mathematik-Online-Lexikon:

Senkrechte Strömung durch eine Halbkugelschale

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Es soll der Fluss der senkrechten Strömung

\begin{displaymath} \vec{F}(r,\vartheta,\varphi)= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\... ...\begin{array}{c} 0\\ 0\\ r\cos \vartheta\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

von unten nach oben durch die Halbkugelschale

$\displaystyle r=a,\quad 0\leq\varphi\leq2\pi,\quad 0\leq\vartheta\leq\pi/2 $

berechnet werden.

Man erhält

$\displaystyle F_r(r,\vartheta,\varphi)$ $\displaystyle =\vec{F} \cdot \vec{e}_r = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ r\cos\... ...hi\sin\vartheta\\ \sin\varphi\sin\vartheta\\ \cos\vartheta\\ \end{array}\right)$    
  $\displaystyle =r\cos^2\vartheta$    

und somit für den Fluss

$\displaystyle \int\limits_0^{\pi/2}\int\limits_0^{2\pi} F_r(a,\vartheta,\varphi)\,a^2\sin\vartheta\,d\varphi\,d\vartheta$ $\displaystyle = \int\limits_0^{\pi/2}\int\limits_0^{2\pi} a^3\cos^2\vartheta \sin\vartheta \,d\varphi\,d\vartheta$    
  $\displaystyle = 2\pi a^3\left[\frac{-\cos^3\vartheta}{3}\right]_{\vartheta=0}^{\pi/2}$    
  $\displaystyle = \frac{2\pi a^3}{3}\,.$    

[Verweise]
  automatisch erstellt am 2. 10. 2013