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Mathematik-Online-Lexikon:

Satz von Stokes bei einer Halbkugel

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Als Beispiel wird der Fluss der Rotation des räumlichen Vektorfeldes

\begin{displaymath} \vec{F}(x,y,z)=\left( \begin{array}{c} z\\ x\\ y\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

durch die Halbkugelschale

$\displaystyle S:\quad x^2+y^2+z^2=1,\quad z\geq 0\,, $

betrachtet. Als Parametrisierung für die Randkurve $ C$ wird

\begin{displaymath} \vec{r}(t)=\left( \begin{array}{c} \cos t\\ \sin t \\ 0\\ \end{array}\right),\quad t\in[0,2\pi]\,, \end{displaymath}

mit

\begin{displaymath} (\vec{r}\,')^\circ =\left( \begin{array}{c} -\sin t\\ \cos t \\ 0\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

verwendet. Mit der Parametrisierung

\begin{displaymath} \vec{s}(\vartheta,\varphi)=\left( \begin{array}{c} \cos\varp... ...,\quad 0\leq\varphi\leq 2\pi,\quad 0\leq\vartheta\leq \pi/2\,, \end{displaymath}

für die Halbkugelschale ergibt sich

\begin{displaymath} \vec{n}(\vartheta,\varphi)= \left( \begin{array}{c} \cos\var... ...\varphi\sin\vartheta\\ \cos\vartheta\\ \end{array}\right)\,. \end{displaymath}

Für die Rotation von $ \vec{F}$ gilt

\begin{displaymath} \operatorname{rot}\vec{F} = \left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

und somit für die linke Seite im Satz von Stokes

$\displaystyle \iint\limits_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d\vec{S}$ $\displaystyle = \int\limits_0^{\pi/2}\int\limits_0^{2\pi} \cos\varphi\sin^2\var... ... + \sin\varphi\sin^2\vartheta + \cos\vartheta\sin\vartheta\,d\varphi d\vartheta$    
  $\displaystyle = 0+0+2\pi\left[\frac{1}{2}\sin^2\vartheta\right]_{\vartheta=0}^{\pi/2}=\pi\,.$    

Für die rechte Seite erhält man entsprechend

$\displaystyle \int\limits_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r}$ $\displaystyle = \int\limits_0^{2\pi} \left( \begin{array}{c} 0\\ \cos t \\ \sin... ...ht)\cdot \left( \begin{array}{c} -\sin t\\ \cos t \\ 0\\ \end{array}\right)\,dt$    
  $\displaystyle = \int\limits_0^{2\pi} \cos^2 t\,dt = \pi\,.$    

Betrachtet man statt der Halbkugelschale die Kreisscheibe

\begin{displaymath} K:\quad\vec{s}(r,\varphi)=\left( \begin{array}{c} r\cos\varp... ...{array}\right),\quad 0\leq r\leq1,\quad 0\leq\varphi\leq 2\pi, \end{displaymath}

mit gleichem Rand $ C$, so bleibt die rechte Seite unverändert, während sich für die linke in Polarkoordinaten ebenfalls

\begin{displaymath} \iint\limits_{K} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d\vec{K} =... ...array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right) r\,d\varphi dr = \pi \end{displaymath}

ergibt.

siehe auch:

  automatisch erstellt am 9. 10. 2013