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Mathematik-Online-Lexikon:

Satz von Stokes bei einer kreisförmigen Strömung

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Eine typische wirbelförmige Strömung um die $ z$-Achse wird durch das Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = f(\varrho) \vec{e}_\varphi,\quad \vec{e}_\varphi... ...\begin{array}{c}-y\\ x\\ 0\end{array}\right)\, ,\quad\varrho=\sqrt{x^2+y^2}\,, $

beschrieben, wobei

\begin{displaymath} \operatorname{rot} \vec{F} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ f'+\varrho^{-1}f\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

nach den Rechenregeln für die Rotation in Zylinderkoordinaten ist.

Gesucht ist nun der Fluss von $ \operatorname{rot} \vec{F} $ durch die Kreisscheibe $ S$ in der $ xy$-Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius $ a>0$. Wählt man als Parametrisierung der Randkurve

\begin{displaymath} C:\quad \vec{r}(t)=\left( \begin{array}{c} a\cos t \\ a\sin ... ...a\sin t \\ a\cos t\\ \end{array}\right),\quad t\in[0,2\pi]\,, \end{displaymath}

so erhält man mit Hilfe des Satzes von Stokes

$\displaystyle \iint\limits_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d\vec{S}$ $\displaystyle = \int\limits_0^{2\pi} f(a) \left( \begin{array}{c} -\sin t \\ \c... ...right)\cdot\left( \begin{array}{c} -a\sin t \\ a\cos t\\ \end{array}\right)\,dt$    
  $\displaystyle = 2\pi a f(a)\,.$    

Für das Rechteck $ R=[-a,a]\times[-b,b]$ in der $ xy$-Ebene erhält man für den Spezialfall $ f(\varrho)=\varrho$

$\displaystyle \iint\limits_R \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d\vec{R} = \iint\... ...ay}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right) dR = 8ab\,. $

[Verweise]
  automatisch erstellt am 9. 10. 2013