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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Fourier-Reihen von geraden Funktionen

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Es wird die Fourier-Reihe der $ 2\pi$-periodischen Fortsetzung der geraden Hutfunktion

\begin{minipage}{.5\linewidth} \begin{center} \includegraphics[clip,width=.9\lin... ...in[-\pi,0)\\ \pi-x, & x\in[0,\pi)\\ \end{cases}\end{displaymath}\end{minipage}

gesucht.

Man erhält

$\displaystyle a_0 = \frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi \pi-t\,dt= \pi $

und für $ k\ge1$
$\displaystyle a_k$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi (\pi-t)\cos(kt)\,dt \overset{\text... ...sin(kt)}{k}\right]_0^\pi +\frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi \frac{\sin(kt)}{k}\,dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 0-\frac{2}{\pi}\left[\frac{\cos(kt)}{k^2}\right]_0^\pi = \frac{2}{k^2\pi}\left(1-(-1)^k\right)\,.$  

Damit ergibt sich für $ k=2m$ bzw. $ k=2m+1$

$\displaystyle a_{2m} =0,\quad a_{2m+1}=\frac{4}{(2m+1)^2\pi}\,, $

und man erhält die Fourier-Reihe

$\displaystyle f(x) = \frac{\pi}{2}+\frac{4}{\pi}\sum_{m=0}^\infty \frac{\cos((... ...2}+\frac{4}{\pi} \left( \frac{\cos(x)}{1}+\frac{\cos(3x)}{9}+\cdots\right)\,. $

Speziell folgt für $ x=0$ mit $ f(0)=\pi$

$\displaystyle \left(\pi-\frac{\pi}{2}\right)\frac{\pi}{4}=\frac{\pi^2}{8} = \frac{1}{1}+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\cdots\,. $

[Verweise]
  automatisch erstellt am 7. 11. 2013