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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Fourier-Reihe

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Es wird die komplexe Fourier-Reihe der $ 2\pi$-periodischen Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2-e^{\mathrm{i}x}} $

gesucht.

Umschreiben von $ f(x)$ liefert

$\displaystyle f(x) =\frac{1}{2}\,\frac{1}{1-e^{\mathrm{i}x}/2}\,, $

und da $ \vert e^{\mathrm{i}x}/2\vert<1$ ist, kann man dies als geometrische Reihe schreiben:

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty \left( \frac{e^{\mathrm{i}x}}{2} \right)^k\,. $

Die Fourier-Reihe von $ f$ ist somit

$\displaystyle f(x) \sim \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^{k+1}} e^{\mathrm{i}kx}\,. $

[Verweise]
  automatisch erstellt am 7. 11. 2013