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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Hauptsatz über konforme Abbildungen

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Als Beispiel soll der Halbkreis

$\displaystyle D:\quad \vert z\vert <1,\quad \operatorname{Re}z > 0 $

konform auf das Innere des Einheitskreises abgebildet werden.

Eine entsprechende Abbildung kann in mehreren Schritten realisiert werden.

Zunächst wird mit der Möbius-Transformation

$\displaystyle \xi=\frac{z+\mathrm{i}}{\mathrm{i}z+1} $

der Einheitskreis auf die obere Halbebene abgebildet. Dabei wird $ D$ auf den ersten Quadranten ( $ \operatorname{Re}\xi \ge 0,\;\operatorname{Im}\xi \ge 0$) abgebildet, da die Abbildung $ z\rightarrow\xi$ die imaginäre Achse invariant lässt. Durch Quadrieren,

$\displaystyle \eta =\xi^2\,, $

wird dann der erste Quadrant auf die obere Halbebene abgebildet.

Die abschließende Möbius-Transformation

$\displaystyle w=\frac{\mathrm{i}-\eta}{\mathrm{i}+\eta} $

bildet schließlich die obere Halbebene auf das Innere des Einheitskreises ab.

Zusammengefasst erhält man

$\displaystyle w=\frac{-\mathrm{i}(z^2+2z-1)}{z^2-2z-1}\,. $

siehe auch:

  automatisch erstellt am 21. 11. 2013