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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Abschätzungen für komplexe Ableitungen

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Als Beispiel wird die Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z} $

mit den Ableitungen

$\displaystyle f^{(n)}(z)=(-1)^n n! z^{-(n+1)} $

auf einer Kreisscheibe um $ z\ne0$ mit Radius $ r<\vert z\vert$ betrachtet.

Mit Hilfe der Abschätzungen für komplexe Ableitungen erhält man

$\displaystyle \vert f^{(n)}(z)\vert = n!\,\vert z\vert^{-(n+1)} \le \frac{n!}{r... ...ax_{\vert w-z\vert=r} \vert f(w)\vert=\frac{n!}{r^n}\,\frac{1}{\vert z\vert-r} $

bzw.

$\displaystyle r^n(\vert z\vert-r) \le \vert z\vert^{n+1}\,. $

Diese Abschätzung lässt sich leicht verifizieren, wenn man $ r<\vert z\vert$ bzw. $ r^n<\vert z\vert^n$ und $ \vert z\vert-r \le \vert z\vert$ berücksichtigt.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013