Mathematik-Online-Lexikon: Beispiel: Berechnung von Residuen

$\displaystyle \underset{0}{\operatorname{Res}}f$	$\displaystyle =\lim_{z\to0}\left(\frac{d}{dz}\,\frac{z}{\sin z}\right) = \lim_{z\to0}\frac{\sin z-z\cos z}{\sin^2 z}$
	$\displaystyle \overset{\text{L'Hospital}}{=} \lim_{z\to0}\frac{\cos z -\cos z +z\sin z}{2\cos z\sin z} = \lim_{z\to0}\frac{z}{2\cos z}=0$
und
$\displaystyle \underset{k\pi}{\operatorname{Res}}f$	$\displaystyle = \lim_{z\to k\pi}\frac{z-k\pi}{z\sin z} \overset{\text{L'Hospital}}{=} \lim_{z\to k\pi}\frac{1}{\sin z+z\cos z} = \frac{(-1)^k}{k\pi}\,.$

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