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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Trigonometrische Integranden

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Als Beispiel wird das Integral

$\displaystyle I=\int\limits_0^\pi \frac{1}{c+\cos t}\,dt $

mit $ c\in(1,\infty)$ betrachtet.

Mit der Substitution

$\displaystyle z=e^{\mathrm{i}t}\,, \quad dz = iz \, dt \,, \quad \cos t = \frac{1}{2} \left( z+ \frac{1}{z} \right) $

erhält man aufgrund der Symmetrie

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{c+\cos t}\,dt = \int\limits_C \frac{1}{\mathrm{i}}\, \frac{1}{z^2+2cz+1}\,dz$    
  $\displaystyle =\int\limits_C\frac{1}{\mathrm{i}}\, \frac{1}{\left(z+c-\sqrt{c^2-1}\right)\left(z+c+\sqrt{c^2-1}\right)}\,dz = \int\limits_C f(z)\,dz\,,$    

wobei $ C$ der entgegen dem Uhrzeigersinn orientierte Einheitskreis ist. Von den Polstellen des Integranden $ f$ liegt nur die einfache Polstelle $ a=-c+\sqrt{c^2-1}$ im Inneren des Einheitskreises, und es gilt

$\displaystyle \underset{a}{\operatorname{Res}}f = \lim_{z\to a} (z-a)f(z)= \lim... ...mathrm{i}\left(z+c+\sqrt{c^2-1}\right)} = \frac{1}{2\mathrm{i}\sqrt{c^2-1}}\,. $

Damit ergibt sich für das Integral

$\displaystyle I=2\pi\mathrm{i}\,\underset{a}{\operatorname{Res}}f = \frac{\pi}{\sqrt{c^2-1}}\,. $

[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013