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Mathematik-Online-Lexikon:

Taylor-Entwicklung durch Koeffizientenvergleich

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Die Taylor-Reihe um den Entwicklungspunkt 0 der Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z^2+pz+q} $

mit $ p,q\in\mathbb{C}$ lässt sich durch Koeffizientenvergleich bestimmen.

Der Ansatz

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z^2+pz+q} =\sum_{k=0}^ \infty c_k z^k $

liefert

$\displaystyle 1 = c_0q + (c_1q+c_0p)z + (c_2q+c_1p+c_0)z^2 + (c_3q+c_2p+c_1)z^3+\cdots\,, $

woraus sich die Koeffizienten $ c_k$ sukzessive berechnen lassen:

$\displaystyle c_0$ $\displaystyle = \frac{1}{q}$    
$\displaystyle c_1$ $\displaystyle = -\frac{p}{q^2}$    
$\displaystyle c_2$ $\displaystyle = -\frac{c_0+c_1 p}{q}= -\frac{1}{q^2}+\frac{p^2}{q^3}$    
  $\displaystyle \ldots$    
$\displaystyle c_n$ $\displaystyle = -\frac{c_{n-2}+c_{n-1}p}{q}\,.$    

[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013