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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Komplexer Logarithmus

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Der komplexe Logarithmus einer positiven reellen Zahl $ x$ nimmt außer dem reellen Logarithmus $ \ln(x)$ noch Werte an, die sich um Vielfache von $ 2\pi\mathrm{i}$ unterscheiden:

$\displaystyle \operatorname{Ln}(x)=\ln(x)+2\pi\mathrm{i}k\,,\quad k\in \mathbb{Z}\,,\quad x\in \mathbb{R}^+\,, $

je nachdem, welcher Zweig gewählt wird. Der komplexe Logarithmus ist, im Gegensatz zum reellen Logarithmus, auch für negative reelle Zahlen $ x$ definiert. Hierbei gilt

$\displaystyle \operatorname{Ln}(x)=\ln(-x)+\pi\mathrm{i}(2k+1)\,,\quad k\in \mathbb{Z}\,,\quad x\in \mathbb{R}^-\,. $

Beispielsweise ist der komplexe Logarithmus von $ z=\sqrt{2}e(1+\mathrm{i})$

$\displaystyle \operatorname{Ln}(z)=\operatorname{Ln}(2ee^\frac{\mathrm{i}\pi}{4})= 1+\ln(2)+\pi\mathrm{i}(8k+1)/4\,,\quad k\in \mathbb{Z}\,. $

[Verweise]
  automatisch erstellt am 15. 11. 2013