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Mathematik-Online-Lexikon:

1/z auf Kreis

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Für $ f(z)=1/z$ und den Kreis

$\displaystyle C:\ z(t)=re^{\mathrm{i}t}\,,\quad t\in[0,2\pi]\,, $

ergibt sich für das Kurvenintegral

$\displaystyle \int\limits_Cf\,dz=\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{re^{\mathrm{i}t}}... ...m{i}re^{\mathrm{i}t}\,dt=\mathrm{i}\int\limits_0^{2\pi}1\,dt=2\pi\mathrm{i}\,. $

Dagegen erhält man für $ f(z)=z^n$, $ n \neq -1$,
$\displaystyle \int\limits_C f \, dz$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_0^{2 \pi} \left( r e^{\mathrm{i}t}\right)^n \,\mathrm... ...{i}t}\,dt = \mathrm{i} r^{n+1} \int\limits_0^{2 \pi} e^{\mathrm{i}(n+1)t} \, dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathrm{i} r^{n+1} \left[ \frac{1}{\mathrm{i}(n+1)} e^{\mathrm{i}(n+1)t}\right]_0^{2 \pi} = 0 \,.$  

siehe auch:

  automatisch erstellt am 21. 11. 2013