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Mathematik-Online-Lexikon:

Arcustangens-Potential

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Differenziert man das Skalarfeld

$\displaystyle U=\arctan(y/x) = \varphi\,, $

so erhält man

$\displaystyle \vec{F} = \operatorname{grad}U = \left(\begin{array}{c} \displays... ...\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}\end{array}\right) = r^{-1} \vec{e}_\varphi\,. $

Bis auf die Singularität im Ursprung erfüllt dieses Feld die Integrabilitätsbedingung

$\displaystyle \partial_yF_x-\partial_xF_y = \frac{-(x^2+y^2)+2y^2}{(x^2+y^2)^2} - \frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2} = 0\,. $

Dennoch ist das Arbeitsintegral auf einem Kreis $ K$ mit Radius $ a$ um den Ursprung nicht null:

$\displaystyle \int\limits_K \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int\limits_0^{2\pi} \frac{... ...ot a \left(\begin{array}{r} -\sin t \\ \cos t \end{array}\right)\,dt = 2\pi\,. $

Obwohl $ \vec{F} = \operatorname{grad}U$ gilt, existiert kein (global definiertes) Potential. Dies liegt an der Singularität im Ursprung. Das Gebiet, auf dem die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist, ist nicht einfach zusammenhängend. Die Problematik wird auch klar, wenn man berücksichtigt, dass die Funktion $ U=\varphi$ auf einem Kreisring um den Ursprung nicht stetig definiert werden kann.

Natürlich existiert ein Potential (nämlich $ U=\varphi$) auf jeder einfach zusammenhängenden Menge, die den Ursprung nicht enthält.

siehe auch:

  automatisch erstellt am 9. 10. 2013