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Mathematik-Online-Lexikon:

Summe der Kuben

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Zeige, daß für jede natürliche Zahl $ \mbox{$n$}$

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} i^3 \; =\; n^2 (n-1)^2/4\; . $}$

Lösung.

Induktionsanfang. Für $ \mbox{$n = 0$}$ ist $ \mbox{$\sum_{i=0}^{-1} i^3 = 0$}$ und $ \mbox{$0^2 (0-1)^2/4 = 0$}$.

Induktionsschritt. Sei die Aussage für $ \mbox{$n$}$ als wahr angenommen, und sei sie für $ \mbox{$n+1$}$ zu zeigen. Wir erhalten

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \sum_{i=0}^n i^3 & = & \left(\sum_{i=... ...& n^4/4 + n^3/2 + n^2/4 \\ & = & (n+1)^2 ((n+1)-1)^2/4\; . \\ \end{array}$}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006