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Mathematik-Online-Lexikon:

Ungleichung für Binomialkoeffizienten

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Zeige für natürliche Zahlen $ \mbox{$k,n$}$ mit $ \mbox{$1\leq k\leq n$}$

$ \mbox{$\displaystyle \frac{n^k}{k!}\left(1-\frac{k(k-1)}{n}\right) \; \leq \; {n\choose k} \; \leq \; \frac{n^k}{k!}\ . $}$

Lösung.

Es wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {n\choose k} &=& \frac{n(n-1)\cdots(... ...q& \frac{n\cdot n\cdots n}{k!}\vspace{2mm}\\ &=& \frac{n^k}{k!} \end{array}$}$
und
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {n\choose k} &=& \frac{n(n-1)\cdots(n... ...ce{2mm}\\ &\geq& \frac{n^k}{k!}\left(1-\frac{k(k-1)}{n}\right), \end{array}$}$

wobei im letzten Schritt die Bernoullische Ungleichung verwendet wurde; man beachte dabei $ \mbox{$-\frac{k-1}{n}\geq -1$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006