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Mathematik-Online-Lexikon:

Eine Ungleichung

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Zeige mit der geometrisch-arithmetischen Ungleichung, daß für $ \mbox{$n\in\mathbb{N}$}$

$ \mbox{$\displaystyle n^n\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\right)^{\!-n}\; \leq \;n!\; \leq \; \left(\frac{n+1}{2}\right)^{\!n}\ . $}$

Lösung.

Aus der geometrisch-arithmetischen Ungleichung mit $ \mbox{$x_i:=\frac{1}{i}$}$ folgt

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \left(\frac{1}{1\cdot 2\cdots n}\righ... ... \; n! & \geq & n^n\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\right)^{\!-n}\ . \end{array}$}$

Aus der geometrisch-arithmetischen Ungleichung mit $ \mbox{$x_i:=i$}$ folgt

$ \mbox{$\displaystyle n! \; \leq \; \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i\right)^{\!... ...dot\frac{n(n+1)}{2}\right)^{\!n} \; = \; \left(\frac{n+1}{2}\right)^{\!n}\ . $}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006