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Mathematik-Online-Lexikon:

Häufungspunkte

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Gib von der Folge

$ \mbox{$\displaystyle (a_n)_{n\geq 0} \; =\; (0.1,\;\; 0.01,\; 1.01,\;\; 0.001,\; 1.001,\; 2.001,\;\; 0.0001,\; 1.0001,\; 2.0001,\; 3.0001,\; \dots\; ) $}$
die Menge der Häufungspunkte, den Limes inferior und den Limes superior an.

Lösung.

Wir behaupten, daß die Menge der Häufungspunkte durch $ \mbox{$\mathbb{N}\cup\{\infty\}$}$ gegeben ist.

Zum einen haben wir für jede natürliche Zahl $ \mbox{$m$}$ die Teilfolge $ \mbox{$(m+10^{-(m+1+n)})_{n\geq 0}$}$, die gegen $ \mbox{$m$}$ konvergiert. Ferner ist $ \mbox{$\lim_{n\to\infty} (n+10^{-(n+1)}) = + \infty$}$ ein weiterer Häufungspunkt.

Die Folge ist nach unten beschränkt, also ist $ \mbox{$-\infty$}$ kein Häufungspunkt. Für $ \mbox{$x\in\mathbb{R}\backslash \mathbb{N}$}$ gibt es ein $ \mbox{$\varepsilon > 0$}$ mit $ \mbox{$[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]\cap\mathbb{N}= \emptyset $}$. Dann liegen nur endlich viele Folgenglieder in $ \mbox{$[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]$}$, so daß $ \mbox{$x$}$ kein Häufungspunkt sein kann.

Wir erhalten so $ \mbox{$\underline {\lim}_{n\to\infty} a_n = 0$}$ und $ \mbox{$\overline {\lim}_{n\to\infty} a_n = + \infty$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006