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Mathematik-Online-Lexikon:

Fixpunkt

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Sei $ \mbox{$f : [0,1] \longrightarrow [0,1]$}$ stetig. Zeige, daß $ \mbox{$f$}$ einen Fixpunkt besitzt, d.h. daß es ein $ \mbox{$x\in [0,1]$}$ gibt mit $ \mbox{$f(x) = x$}$. Dies ist gleichbedeutend dazu, zu zeigen, daß $ \mbox{$g(x) := x - f(x)$}$ eine Nullstelle in $ \mbox{$[0,1]$}$ besitzt.

Lösung.

Es ist $ \mbox{$g(0) = 0 - f(0) \leq 0$}$ und $ \mbox{$g(1) = 1 - f(1) \geq 0$}$, da $ \mbox{$f$}$ Funktionswerte in $ \mbox{$[0,1]$}$ annimmt. Mit $ \mbox{$f$}$ ist nun auch $ \mbox{$g$}$ stetig, so daß nach dem Zwischenwertsatz ein $ \mbox{$x\in [0,1]$}$ existiert mit $ \mbox{$g(x) = 0$}$, d.h. mit $ \mbox{$f(x) = x$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006