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Mathematik-Online-Lexikon:

Schiefer Wurf

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Eine Kugel der Masse $ \mbox{$m$}$ werde mit der Anfangsgeschwindigkeit $ \mbox{$v_0$}$ mit Abwurfwinkel $ \mbox{$\varphi \in [0,\pi/2]$}$ vom Boden aus geworfen. Die Erdbeschleunigung sei $ \mbox{$g$}$.

(1)
Berechne den Winkel $ \mbox{$\varphi $}$, für den die maximale Wurfweite erzielt wird. Gib die maximale Wurfweite an.
(2)
Selbes Problem wie (1), nur mit (vereinfachtem) Luftwiderstand. Es werde angenommen, daß dieser nur horizontal verursacht wird und wirkt, d.h. daß auf die Kugel eine horizontale Kraft gegen die Wurfrichtung vom Betrag $ \mbox{$cv^2$}$ wirkt, wobei $ \mbox{$v$}$ die Horizontalgeschwindigkeit und $ \mbox{$c\neq 0$}$ eine Konstante bezeichne.

(Hinweis: Die Horizontalgeschwindigkeit ist von der Form $ \mbox{$m/(c(t-t_0))$}$, wobei $ \mbox{$t$}$ die Zeit bezeichnet, und $ \mbox{$t_0$}$ einen geeignet zu wählenden Zeitpunkt.)

Lösung.

(1)
In Abhängigkeit von der Zeit beträgt die Vertikalgeschwindigkeit $ \mbox{$v_0\sin\varphi - gt$}$, woraus sich die Flughöhe $ \mbox{$v_0(\sin\varphi ) t - gt^2/2$}$ und der Aufprallzeitpunkt zu $ \mbox{$t_1 = 2 v_0 g^{-1}\sin\varphi $}$ berechnet. In dieser Zeit wird die horizontale Strecke
$ \mbox{$\displaystyle S(\varphi )\; =\; 2 v_0^2 g^{-1}(\sin\varphi )(\cos\varphi ) $}$
zurückgelegt. Für die Randpunkte $ \mbox{$\varphi = 0$}$ und $ \mbox{$\varphi = \pi/2$}$ haben wir lokale Minima vorliegen. Notwendig für Maximalität ist also
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 0 & = & S'(\varphi ) \\ & = & 2 v_... ...i )^2) \\ & = & 2 v_0^2 g^{-1} (1 - 2(\sin\varphi )^2)\; , \\ \end{array}$}$
d.h. $ \mbox{$\varphi = \pi/4$}$. Anhand von $ \mbox{$S''(\varphi ) = - 8 v_0^2 g^{-1} (\sin\varphi )(\cos\varphi )$}$, und also von $ \mbox{$S''(\pi/4) < 0$}$, erkennt man, daß in der Tat ein Maximum vorliegt. Die maximale Wurfweite ist
$ \mbox{$\displaystyle S(\pi/4) \; =\; \frac{v_0^2}{g}\; . $}$

(2)
Der Aufprallzeitpunkt ist wie in (1) weiterhin $ \mbox{$t_1 = 2 v_0 g^{-1}\sin\varphi $}$. Schreiben wir die Ableitung nach der Zeit mit einem aufgestellten Punkt und die Wegstrecke als $ \mbox{$s$}$, so ergibt sich die Horizontalgeschwindigkeit $ \mbox{$\dot s$}$ aus $ \mbox{$m\ddot s = -c \dot s^2$}$ zu
$ \mbox{$\displaystyle \dot s = m/(c(t-t_0)) \; , $}$
wobei $ \mbox{$t_0$}$ aus $ \mbox{$\dot s(0) = - m/(c t_0) = v_0\cos\varphi $}$ zu
$ \mbox{$\displaystyle t_0\; =\; -\frac{m}{c(v_0\cos\varphi )} $}$
resultiert. Also wird
$ \mbox{$\displaystyle \dot s = \frac{v_0\cos\varphi }{1 + \frac{c}{m}\, t v_0\cos\varphi } \; . $}$
Die zurückgelegte Wegstrecke zum Zeitpunkt $ \mbox{$t_1$}$ ergibt sich zu
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} S(\varphi ) & = & \frac{m}{c}\log(1 ... ...\log(1 + \frac{2v_0^2 c}{gm}\, \sin\varphi \cos\varphi )\; . \\ \end{array}$}$
Daraus erhalten wir
$ \mbox{$\displaystyle S'(\varphi ) \; = \; \frac{m}{c} \left(1 + \frac{2v_0^2... ...os\varphi \right)^{-1} \cdot \frac{2v_0^2 c}{gm} (1 - 2(\sin\varphi )^2)\; , $}$
und also wiederum ein Maximum bei $ \mbox{$\varphi = \pi/4$}$. Die maximale Wurfweite ist etwas kürzer, nämlich
$ \mbox{$\displaystyle S(\pi/4) \; =\; \frac{m}{c}\log\left(1 + \frac{v_0^2 c}{gm}\right) \;\approx\; \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^4 c}{2g^2m} \; . $}$
Sei an dieser Stelle nochmal darauf hingewiesen, daß dieses Resultat unter der vereinfachenden Annahme, der Luftwiderstand wirke nur horizontal und hänge auch nur von der Horizontalgeschwindigkeit ab, hergeleitet wurde.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006