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Mathematik-Online-Lexikon:

Exponentialfunktion versus Polynome

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Berechne jeweils den Grenzwert.

  1. $ \mbox{$\lim_{x\to\infty} x^\alpha e^{-\beta x}$}$, wobei $ \mbox{$\alpha\in\mathbb{R}$}$ und $ \mbox{$\beta>0$}$.
  2. $ \mbox{$\lim_{x\to 0+} x^\alpha (-\log x)^\beta$}$, wobei $ \mbox{$\alpha>0$}$ und $ \mbox{$\beta\in\mathbb{R}$}$.
  3. $ \mbox{$\lim_{x\to\infty} x^\alpha (\log x)^\beta$}$, wobei $ \mbox{$\alpha>0$}$ und $ \mbox{$\beta\in\mathbb{R}$}$.

Lösung.

  1. Wir beweisen durch Induktion nach $ \mbox{$n\in\mathbb{N}$}$ folgende Aussage.
    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to\infty} x^\alpha e^{-\beta x} \;=\; 0 \;,\hspace*{1cm} {\mbox{falls {$\mbox{$\alpha< n$}$} und {$\mbox{$\beta>0$}$}}} . $}$
    Am Induktionsanfang $ \mbox{$n=0$}$ erhalten wir $ \mbox{$\lim_{x\to\infty} x^\alpha e^{-\beta x}=0\cdot 0=0$}$.

    Im Induktionsschritt nehmen wir an, die Aussage gelte für ein $ \mbox{$n\in\mathbb{N}$}$.

    Es wird für $ \mbox{$\alpha<n+1$}$ mit de l'Hôpital im Fall $ \mbox{$\frac{\ast}{+\infty}$}$

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{x\to\infty} x^\alpha e^{-\beta ... ...im_{x\to\infty} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}\vspace*{2mm}\\ &=& 0 \end{array}$}$
    nach Induktionshypothese.

    Also gilt

    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to\infty} x^\alpha e^{-\beta x} \;=\; 0 \;,\hspa... ...} {\mbox{falls {$\mbox{$\alpha\in\mathbb{R}$}$} und {$\mbox{$\beta>0$}$}}} . $}$

  2. Wir beweisen durch Induktion nach $ \mbox{$n\in\mathbb{N}$}$ folgende Aussage.
    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to 0+} x^\alpha (-\log x)^\beta \;=\; 0 \;,\hspace*{1cm} {\mbox{falls {$\mbox{$\alpha>0$}$} und {$\mbox{$\beta<n$}$}}}. $}$
    Am Induktionsanfang $ \mbox{$n=0$}$ erhalten wir $ \mbox{$\lim_{x\to 0+} x^\alpha (-\log x)^\beta = 0\cdot 0$}$.

    Im Induktionsschritt nehmen wir an, die Aussage gelte für ein $ \mbox{$n\in\mathbb{N}$}$.

    Es wird für $ \mbox{$\beta< n+1$}$ mit de l'Hôpital im Fall $ \mbox{$\frac{\ast}{+\infty}$}$

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{x\to 0+} x^\alpha (-\log x)^\be... ...\lim_{x\to 0+} x^\alpha(-\log x)^{\beta-1}\vspace*{2mm}\\ &=& 0 \end{array}$}$
    nach Induktionshypothese.

    Also gilt

    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to 0+} x^\alpha (-\log x)^\beta \;=\; 0 \;,\hspa... ...m} {\mbox{falls {$\mbox{$\alpha>0$}$} und {$\mbox{$\beta\in\mathbb{R}$}$}}}. $}$

  3. Auch hier könnten wir mit de l'Hôpital argumentieren. Alternativ wird mit der Substitution $ \mbox{$x:=1/y$}$
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \lim_{x\to \infty} x^\alpha (\log x)^... ...ha (-\log y)^{-\beta}\right)^{-1}\vspace*{2mm}\\ &=& \infty \;, \end{array}$}$
    denn nach (2) ist $ \mbox{$\lim_{y\to 0+} y^\alpha (-\log y)^{-\beta} =0$}$.

    Also gilt

    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to\infty} x^\alpha (\log x)^\beta \;=\; +\infty ... ...m} {\mbox{falls {$\mbox{$\alpha>0$}$} und {$\mbox{$\beta\in\mathbb{R}$}$}}}. $}$

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006