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Mathematik-Online-Lexikon:

Grenzwert mittels Taylorentwicklung

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Bestimme mithilfe einer Taylorentwicklung

$ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{(\sin x)^2}-\frac{1}{x^2}\right) \; . $}$

Lösung.

Wir wollen die Taylorentwicklung von $ \mbox{$(\sin x)^2$}$ um $ \mbox{$x_0=0$}$ bestimmen.

Dazu beachten wir $ \mbox{$(\sin x)^2=(1-\cos(2x))/2$}$ und die Taylorentwicklung des Cosinus. Es gibt ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$x$}$ so, daß

$ \mbox{$\displaystyle \cos x \;=\; 1-\frac{1}{2}x^2+\frac{\cos\xi}{24}\,x^4 \;. $}$
Also folgt
$ \mbox{$\displaystyle (\sin x)^2 \;=\; x^2-\frac{\cos\xi}{3}\,x^4 \; $}$
für ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$2x$}$. Damit erhalten wir
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\left(\frac{1}{(\sin x)^... ...\;=\; \frac{1}{3}\;\;\; {\mbox{f\uml ur {$\mbox{$x\to 0$}$}}} \;, \end{array}$}$
denn wegen $ \mbox{$0\leq\vert\xi\vert\leq 2\vert x\vert$}$ geht $ \mbox{$\cos\xi$}$ gegen $ \mbox{$1$}$ für $ \mbox{$x\to 0$}$.

Alternativ liefert der Ansatz

$ \mbox{$\displaystyle \sin x \;=\; x-\frac{\cos\xi}{6}\,x^3 $}$
für ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$x$}$, daß
$ \mbox{$\displaystyle \left(\frac{1}{(\sin x)^2}-\frac{1}{x^2}\right) \;=\; \... ...2}{1-\frac{\cos\xi}{3}\,x^2+\frac{(\cos\xi)^2}{36}\,x^4} \;\to\; \frac{1}{3} $}$
für $ \mbox{$x\to 0$}$.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006