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Mathematik-Online-Lexikon:

Zwei Partialbruchzerlegungen

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Berechne $ \mbox{$\int \frac{{\mbox{\scriptsize d}}x}{1-x^2}$}$ und $ \mbox{$\int \frac{{\mbox{\scriptsize d}}x}{1+x^2}$}$ mittels Partialbruchzerlegung.

Lösung.

Mit einmaliger Anwendung der Zuhaltemethode wird

$ \mbox{$\displaystyle \frac{1}{x^2 - 1} \; =\; \frac{1}{(x-1)(x+1)} \; =\; \frac{1/2}{x-1} + \frac{-1/2}{x+1}\; , $}$
und also
$ \mbox{$\displaystyle \int\frac{{\mbox{d}}x}{x^2 - 1} \; =\; \frac{1}{2}\,\log\left(\frac{x-1}{x+1}\right) + {\mbox{const.}} $}$
Ferner wird mit einfacher Anwendung der Zuhaltemethode
$ \mbox{$\displaystyle \frac{1}{x^2 + 1} \; =\; \frac{1}{(x-\mathrm{i})(x+\math... ...; \frac{-\mathrm{i}/2}{x-\mathrm{i}} + \frac{\mathrm{i}/2}{x+\mathrm{i}}\; , $}$
und also
$ \mbox{$\displaystyle \int\frac{{\mbox{d}}x}{x^2 + 1} \; =\; -\frac{\mathrm{i}... ...og}}(x+\mathrm{i})) + {\mbox{const.}} \; =\; \arctan x + {\mbox{const.}}\; , $}$
was man auch direkt hätte sehen können.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006