Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Eine autonome Differentialgleichung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Bestimme zwei verschiedene Lösungen der Gleichung

$ \mbox{$\displaystyle y'' \; =\; y^3/2 $}$
mit $ \mbox{$y(0) = 2$}$.

Lösung.

Es handelt sich um eine autonome Gleichung, die Variable $ \mbox{$x$}$ tritt nicht explizit auf. Der Ansatz $ \mbox{$y' = v(y)$}$ gibt $ \mbox{$y'' = v'y' = v'v$}$, also

$ \mbox{$\displaystyle v'v \; =\; y^3/2\; , $}$
und somit
$ \mbox{$\displaystyle v^2 \; =\; y^4/4 + C\; , $}$
mit einer Konstanten $ \mbox{$C\in\mathbb{R}$}$. Mit $ \mbox{$C\neq 0$}$ führt dies auf eine nicht elementar integrierbare Funktion für $ \mbox{$v$}$. Wählen wir aber $ \mbox{$C = 0$}$, so bleibt
$ \mbox{$\displaystyle y' \; =\; v \; =\; \pm\, {\displaystyle\frac{y^2}{2}} $}$
zu lösen. Trennung der Variablen gibt
$ \mbox{$\displaystyle x + c \; =\; \pm\, 2\int y^{-2}{\mbox{d}}y \; =\; \mp\, 2 y^{-1} $}$
und also
$ \mbox{$\displaystyle y \; =\; \mp\, {\displaystyle\frac{2}{x+c}} $}$
mit einer Konstanten $ \mbox{$c\in\mathbb{R}$}$. Die Anfangsbedingung $ \mbox{$y(0) = \mp\, {\displaystyle\frac{2}{c}} = 2$}$ liefert $ \mbox{$c = \mp\, 1$}$, und es bleiben die beiden Lösungen
$ \mbox{$\displaystyle y \; =\; {\displaystyle\frac{2}{1-x}}\; , \hspace*{1cm} y \; =\;{\displaystyle\frac{2}{1 + x}}\; . $}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006