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Mathematik-Online-Lexikon:

Laguerre-Differentialgleichung

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Finde eine Potenzreihe um $ \mbox{$x_0=0$}$, welche der Laguerre-Differentialgleichung

$ \mbox{$\displaystyle xy''+(1-x)y'+my \;=\; 0 $}$
und der Anfangsbedinung $ \mbox{$y(0)=y_0$}$ genügt, wobei $ \mbox{$m,y_0\in\mathbb{R}$}$.

Lösung.

Mit dem Ansatz

$ \mbox{$\displaystyle y(x) \;=\; \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $}$
ergibt sich
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} y'(x) &=& \displaystly\sum_{n=0}^{\in... ...=& \displaystly\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)a_{n+1} x^{n-1}\; , \\ \end{array}$}$
und daher
$ \mbox{$\displaystyle 0 \;=\; xy''+(1-x)y'+my \;=\; a_1+ma_0+\sum_{n=1}^\infty\left((n+1)^2a_{n+1}+(m-n)a_n\right)x^n \;. $}$

Dies liefert durch Koeffizientenvergleich

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 0 &=& a_1+ma_0\\ 0 &=& (n+1)^2a_{n+1}+(m-n)a_n \end{array}$}$
für alle $ \mbox{$n\geq 1$}$. Daraus kann man rekursiv berechnen
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} a_1 &=& -ma_0 \vspace*{2mm}\\ a_2 &... ... -{\displaystyle{m\choose 3}}{\displaystyle\frac{a_0}{6}}\; ,\\ \end{array}$}$
usf. Allgemein ergibt sich als Lösung dieser Rekursion
$ \mbox{$\displaystyle a_n \;=\; (-1)^n{m\choose n}\frac{a_0}{n!} \;, $}$
und die gesuchte Potenzreihe lautet wegen $ \mbox{$a_0=y(0)=y_0$}$
$ \mbox{$\displaystyle y(x) \;=\; y_0\sum_{n=0}^\infty(-1)^n{m\choose n}\frac{x^n}{n!}\; . $}$
Diese Potenzreihe konvergiert für alle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}$}$.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006