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Mathematik-Online-Lexikon:

Eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

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Bestimme die allgemeine Lösung der Gleichung $ \mbox{$y''-2y'+y=e^x$}$.

Lösung.

Das charakteristische Polynom der Gleichung ist

$ \mbox{$\displaystyle p(\lambda) \;=\; \lambda^2-2\lambda+1 \;=\; (\lambda-1)^2 \;. $}$
Es handelt sich um eine doppelte reelle Nullstelle $ \mbox{$\lambda_1=\lambda_2=1$}$. Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist also von der Form
$ \mbox{$\displaystyle y  \;=\; c_1 e^x + c_2 x e^x $}$
mit Konstanten $ \mbox{$c_1,c_2\in\mathbb{R}$}$. Die Wronski-Determinante für die beiden Grundlösungen $ \mbox{$e^x$}$ und $ \mbox{$xe^x$}$ ist
$ \mbox{$\displaystyle W(x) \;=\; e^{2x} \;. $}$
Um eine partikuläre Lösung der Form $ \mbox{$c_1(x)e^x+c_2(x)xe^x$}$ zu bekommen, haben wir die Gleichungen
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} c_1' &=& -{\displaystyle\frac{1}{W(... ...*{2mm}\\ c_2' &=& {\displaystyle\frac{1}{W(x)}}\,e^xe^x & = & 1 \end{array}$}$
zu lösen. Es wird z.B. $ \mbox{$c_1 = -x^2/2$}$, $ \mbox{$c_2 = x$}$, und eine partikuläre Lösung ist $ \mbox{$(x^2/2)e^x$}$. Die allgemeine Lösung der ursprünglichen Gleichung lautet also
$ \mbox{$\displaystyle y  \;=\; \left(C_1e^x+C_2xe^x\right)+{\displaystyle\frac{x^2}{2}}\,e^x \;. $}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006