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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Rekonstruktionssatz

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Die Funktion

\begin{displaymath} f(x)=\operatorname{sinc}(ax)=\frac{\sin(ax)}{ax},\quad \hat{... ...} \pi/a, & \vert y\vert < a\\ 0, & \vert y\vert >a \end{cases}\end{displaymath}

hat offensichtlich für $ 0<a<1$ die Bandbreite $ h=1$. Also gilt mit dem Rekonstruktionssatz für $ h=1$

$\displaystyle \operatorname{sinc}(ax)=\sum_{j=-\infty}^\infty \operatorname{sinc}(aj\pi)\operatorname{sinc}(x-j\pi)\,. $

Für $ a=1$ lässt sich diese Identität trivial überprüfen, wenn man berücksichtigt, dass

\begin{displaymath} \operatorname{sinc}(j\pi)= \begin{cases} 1, & j=0\\ 0, & j\ne0 \end{cases}\,. \end{displaymath}

Des Weiteren erhält man z.B. für $ a=1/2$ und $ x=\pi/2$

$\displaystyle \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4}=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$ $\displaystyle =\sum_{j=-\infty}^\infty \frac{\sin(j\pi/2)}{j\pi/2}\,\frac{\sin(\pi/2-j\pi)}{\pi/2-j\pi}$    
  $\displaystyle =\frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi^2}\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)(4k+1)}\,.$    

siehe auch:

  automatisch erstellt am 13. 11. 2013