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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel für die Negation einer Aussage mit Quantoren

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Zur Illustration des Quantorenkalküls wird die Aussage

$\displaystyle \forall\, \varepsilon>0\ \exists\, n_\varepsilon\ \forall\, n\in\mathbb{N}:\ n>n_\varepsilon \Longrightarrow \vert a_n\vert<\varepsilon $

betrachtet. Sie bedeutet, dass die Folge

$\displaystyle a_1,a_2,\ldots $

gegen 0 strebt, das heißt für hinreichend großes $ n$ wird der Betrag von $ a_n$ kleiner als jede vorgegebene Schranke $ \varepsilon$.

Die Negation erhält man, indem die Kernaussage negiert und die Quantoren ersetzt,

$\displaystyle \exists \leftrightarrow \forall \,. $

Ersetzen der Implikation und Anwendung der Morganschen Regel ergibt

$\displaystyle \lnot( n>n_\varepsilon \Longrightarrow \vert a_n\vert<\varepsil... ...vert<\varepsilon )= n>n_\varepsilon \land \vert a_n\vert\ge\varepsilon \,. $

Damit hat die negierte Aussage die Form

$\displaystyle \exists\,\varepsilon>0\ \forall\, n_\varepsilon\ \exists\, n\in\mathbb{N}:\ n>n_\varepsilon \land \vert a_n\vert\ge\varepsilon \,. $

Dies bedeutet, dass die Folge $ (a_n)$ nicht gegen 0 konvergiert, d.h. es existiert ein Wert $ \varepsilon>0$, der von der Folge $ \vert a_n\vert$ immer wieder überschritten wird.

(Autor: K. Höllig)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  6. 2007