Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Umformungsregeln für logische Operationen

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	Umformungsregeln für logische Operationen

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Übersicht

Für logische Operationen gelten die folgenden Identitäten.

Assoziativgesetze:

$\displaystyle (A\land B)\land C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A \land (B \land C)$

$\displaystyle (A\lor B)\lor C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A \lor (B \lor C)$
Kommutativgesetze:

$\displaystyle A\land B$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B \land A$

$\displaystyle A\lor B$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B \lor A$
De Morgansche Regeln:

$\displaystyle \lnot(A\land B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\lnot A) \lor (\lnot B)$

$\displaystyle \lnot(A\lor B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\lnot A) \land (\lnot B)$
Distributivgesetze:

$\displaystyle (A\land B)\lor C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (A\lor C) \land (B\lor C)$

$\displaystyle (A\lor B)\land C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (A\land C) \lor (B\land C)$
Sonstige:

$\displaystyle \lnot(\lnot A)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A$

$\displaystyle A\land A$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A$

$\displaystyle A\lor A$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A$
Alternative Darstellungen:

$\displaystyle \textrm{Implikation:}\quad$ $\displaystyle A \Rightarrow B$ $\displaystyle \quad =\quad \lnot A \lor B \quad =\quad \lnot A \Leftarrow \lnot B$

$\displaystyle \textrm{Äquivalenz:}\quad$ $\displaystyle A \Leftrightarrow B$ $\displaystyle \quad =\quad (A \land B) \lor (\lnot A \land \lnot B)$

$\displaystyle \textrm{Antivalenz:}\quad$ $\displaystyle A \not\equiv B$ $\displaystyle \quad =\quad (A \land \lnot B) \lor (\lnot A \land B)$

Die alternativen Formulierungen werden oft in Beweisen benutzt.

Ein logischer Ausdruck, der unabhängig vom Wahrheitswert der auftretenden Aussagen immer wahr bzw. immer falsch ist, wird als Tautologie bzw. Kontradiktion bezeichnet. Ein solcher Ausdruck kann bei einer Umformung durch w (oder ) bzw. f (oder 0) ersetzt werden. Insbesondere gelten die Identitäten:

$\displaystyle A \lor \lnot A = \mathrm{w}$	$\displaystyle \textrm{bzw.}$	$\displaystyle A\land \lnot A = \mathrm{f}\,,$
$\displaystyle A \lor \mathrm{w} = \mathrm{w}$	$\displaystyle \textrm{bzw.}$	$\displaystyle A\land \mathrm{w} = A\,,$
$\displaystyle A \lor \mathrm{f} = A$	$\displaystyle \textrm{bzw.}$	$\displaystyle A\land \mathrm{f} = \mathrm{f}\,.$

Die De Morganschen Regeln und die Distributivgesetze lassen sich zeigen, indem man alle Möglichkeiten für die Wahrheitswerte der Aussagen untersucht. Für die erste De Morgansche Regel ist dies in der folgenden Tabelle illustriert.

		$A\land B$	$\lnot A$	$\lnot B$	$\lnot(A\land B)$ , $(\lnot A)\lor(\lnot B)$
w	w	w	f	f	f
w	f	f	f	w	w
f	w	f	w	f	w
f	f	f	w	w	w

Die äquivalenten Beschreibungen für die Implikation, die Äquivalenz und die Antivalenz folgen unmittelbar aus den Definitionen.

(Autoren: Höllig/Hörner)

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automatisch erstellt am 11. 6. 2007

$\displaystyle (A\land B)\land C$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A \land (B \land C)$
$\displaystyle (A\lor B)\lor C$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A \lor (B \lor C)$

$\displaystyle A\land B$	$\displaystyle =$	$\displaystyle B \land A$
$\displaystyle A\lor B$	$\displaystyle =$	$\displaystyle B \lor A$

$\displaystyle \lnot(A\land B)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\lnot A) \lor (\lnot B)$
$\displaystyle \lnot(A\lor B)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\lnot A) \land (\lnot B)$

$\displaystyle (A\land B)\lor C$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (A\lor C) \land (B\lor C)$
$\displaystyle (A\lor B)\land C$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (A\land C) \lor (B\land C)$

$\displaystyle \lnot(\lnot A)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A$
$\displaystyle A\land A$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A$
$\displaystyle A\lor A$	$\displaystyle =$	$\displaystyle A$

$\displaystyle \textrm{Implikation:}\quad$	$\displaystyle A \Rightarrow B$	$\displaystyle \quad =\quad \lnot A \lor B \quad =\quad \lnot A \Leftarrow \lnot B$
$\displaystyle \textrm{Äquivalenz:}\quad$	$\displaystyle A \Leftrightarrow B$	$\displaystyle \quad =\quad (A \land B) \lor (\lnot A \land \lnot B)$
$\displaystyle \textrm{Antivalenz:}\quad$	$\displaystyle A \not\equiv B$	$\displaystyle \quad =\quad (A \land \lnot B) \lor (\lnot A \land B)$