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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Tschebyscheff-Polynome

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Die Tschebyscheff-Polynome entstehen durch Transformation der Kosinus-Funktionen:

$\displaystyle p_n(x) = \cos(nt),\quad x = \cos t \,. $

Diese Definition ist in der Abbildung veranschaulicht. Einem Argument $ x\in[-1,1]$ entspricht der Winkel $ t=\arccos(x)\in[0,\pi]$, der den Wert des Polynoms als $ \cos(nt)$ bestimmt.

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Bild_Tscheb_Pol.eps}

Das Polynom $ p_n$ hat $ n$ Nullstellen $ \xi_k$, $ k=1,\ldots,n$, und $ n+1$ Extrema $ \eta_k$, $ k=0,\ldots,n$, in $ [-1,1]$, nämlich

$\displaystyle \xi_k = \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right),\quad \eta_k = \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right) \,. $

Die extremalen Werte sind $ p_n(\eta_k)=(-1)^k$.

Die Tschebyscheff-Polynome genügen der Orthogonalitätsrelation

\begin{displaymath} \int_{-1}^1 p_m(x)p_n(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \begin{... ...xt{f\uml ur $m=n>0$} \\ 0, & \text{sonst} \,. \end{cases} \end{displaymath}

Dies impliziert die dreigliedrige Rekursion

$\displaystyle p_{n+1} = 2\xi p_n - p_{n-1},\quad n\ge 1\,, $

mit $ \xi(x)=x$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013