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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Polynomdivision

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Zu Polynomen $ p$ und $ q$ mit $ m=$Grad$ \,q\le$Grad$ \,p=n$ gibt es eindeutig bestimmte Polynome $ f$ und $ r$ mit

$\displaystyle p = fq + r,$   Grad$\displaystyle \,f = n-m,\,$   Grad$\displaystyle \,r < m\, . $

Diese Zerlegung kann durch Division mit Rest bestimmt werden.

Speziell folgt für eine Nullstelle $ t$ von $ p$ dass $ p(x) = f(x)(x-t)$ mit Grad$ \,f=n-1$ .

Division von $ p$ durch $ q$ ergibt

$\displaystyle \underbrace{a_n x^n + \cdots}_{p(x)} = \frac{a_n}{b_m} x^{n-m} \underbrace{(b_m x^m + \cdots)}_{q(x)} + p_{n-1}(x) $

mit einem Rest $ p_{n-1}(x) = a^\prime_{n-1} x^{n-1}+\cdots$ .

Ist $ m\le n-1$ kann erneut dividiert werden:

$\displaystyle p_{n-1}(x) = \frac{a_{n-1}^\prime}{b_m} x^{n-1-m} q(x) + p_{n-2}(x)\, . $

Die Prozedur bricht ab, wenn der Grad des Restpolynoms kleiner als $ m$ ist, d.h. spätestens mit

$\displaystyle r = p_{n-(n-m+1)}\, . $

Durch sukzessives Einsetzen der Produkte folgt

$\displaystyle f(x) = \frac{a_n}{b_m} x^{n-m}+ \frac{a_{n-1}^\prime}{b_m} x^{n-1-m} + \cdots\, . $

Ist $ t$ Nullstelle von $ p$ , so gilt

$\displaystyle 0=p(t)=f(t)(t-t)+r(t) = r(t) $

und somit $ r(x)=0$ , da Grad$ \,r < 1$ .

(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 8.  4. 2008