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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Resultante

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Die Resultante $ \mathrm{res}(p,q)$ zweier Polynome,

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} p(x)&=&a_0 + a_1 x + \cdots + a_mx^m \,, \\ q(x)&=&b_0 + b_1 x + \cdots + b_nx^n \,, \end{array} \end{displaymath}

ist die Determinante der Matrix

\begin{displaymath} \left(\begin{array}{ccc ccc c} a_0 & a_1 & \ldots & & a_m ... ...\ \\ \end{array} \right\} m \mbox{ Zeilen} \end{array}. \end{displaymath}

Sie ist genau dann Null, wenn die beiden Polynome eine gemeinsame Nullstelle haben.

Es wird die Äquivalenz der beiden Aussagen,

(A)     $ \exists x:\ p(x)=0=q(x)$,
(B)     $ \mathrm{res}(p,q)=0$,

zu der folgenden dritten Aussage gezeigt:

(C)    $ \exists$ nichttriviale Polynome $ \varphi$, $ \psi$ vom Grad $ <m$ bzw. $ <n$ mit $ p\psi + q\varphi = 0$.

Dazu werden die einzelnen Implikationen separat betrachtet.

(A) $ \implies$ (C):     Aus $ p(t)=q(t)=0$ folgt

$\displaystyle p(x) = (x-t)\tilde p(x),\quad q(x) = (x-t)\tilde q(x) \,, $

und man kann $ \varphi=\tilde p$ und $ \psi=-\tilde q$ wählen.

(C) $ \implies$ (A):     Nimmt man an, dass

$\displaystyle p\psi + q\varphi = 0,\quad \mathrm{Grad}\,\varphi < m,\ \mathrm{Grad}\,\psi < n\,,\ \varphi,\psi\ne0 \,, $

aber $ p$ und $ q$ keine gemeinsame Nullstelle haben, dann muss $ \varphi$ an allen Nullstellen von $ p$ verschwinden. Also hat $ \varphi$ mindestens Grad $ m$, im Widerspruch zu der Annahme.

(B) $ \Leftrightarrow$ (C):     Die Determinante $ \mathrm{res}(p,q)$ ist genau dann Null, wenn das homogene lineare Gleichungssystem

$\displaystyle (\psi_0,\ldots,\psi_{n-1}, \varphi_0,\ldots,\varphi_{m-1})\, \l... ... & & b_n \\ & & \ddots & \ddots & & & \ddots \end{array} \right) = 0 $

eine nichttriviale Lösung besitzt. An der Form der Gleichungen,
0 $\displaystyle =$ $\displaystyle a_0 \psi_0 + b_0 \varphi_0 \,,$  
0 $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1 \psi_0 + a_0 \psi_1 + b_1 \varphi_0 + b_0 \varphi_1 \,,$  
  $\displaystyle \ldots$    
0 $\displaystyle =$ $\displaystyle a_m \psi_{n-1} + b_n \varphi_{m-1} \,,$  

erkennt man, dass das homogene System zu der polynomialen Identität

\begin{displaymath} \begin{array}{l} (a_0 + \cdots + a_m x^m) (\psi_0 + \cdot... ...\varphi_0 + \cdots + \varphi_{m-1} x^{m-1}) = 0 \end{array} \end{displaymath}

aus der Bedingung (C) äquivalent ist. Die Gleichungen entsprechen den Koeffizienten der Monome $ 1,x,\dots,x^{m+n-1}$.
(Autor: J. Koch)
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  automatisch erstellt am 27. 11. 2007